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基础

单位：

多数刚体动力学模拟会使用MKS单位（即公制单位）。质量单位为千克(kg)，时间单位为(s)，距离单位为米(m)。

分离线性及旋转动力学：

无约束刚体，是指可以在三个笛卡尔轴上自由位移，并沿这三个轴自由旋转的刚体，称这种刚体含有6个自由度(degree of freedom, DOF)。其运动可以分为两个部分。

  1. 线性动力学(linear dynamics)：描述刚体除旋转外的运动。
  2. 旋转动力学(angular dynamics)：描述刚体的旋转性运动。

质心：

刚体的质量在所有方向上均匀分布地围绕质心(center of mass)。在均匀密度的刚体中，其质心位于刚体的几何中心(geometry center)。

如果刚体的密度非均匀。把刚体切割成非常小的等分，每个小块以其质量为权重，质心就是这些小块位置的加权平均。

$r_{cm} = {{ ∑{∀i} m_i r_i} \over {∑{∀i} m_i}} = {{ ∑_{∀i} m_i r_i} \over {m}}$

r称为矢径(radius vector)或者位置矢量(position vector)。




线性动力学

线性动力学得需求来说，刚体得位置完全可以由一个位置矢量$r_{cm}$表示。

1.速度和加速度

线性速度定义了刚体质心得移动速率和方向。

$v(t) = {{dr(t)} \over {dt}}$

线性加速度是线性速度对于时间的一阶导数，位置对于时间的二阶导数。

$a(t) = {{dv(t)} \over {dt}} = {{d^2r(t)} \over {dt^2}}$

2.力和动量

力(force)定义为任何能使含质量物体改变速度东西。力包含模(magnitude)和方向(direction)。

牛顿第二定律：$F = ma$

动量(momentum)是线性速度和质量的乘积。

动量定理：$p = mv$




运动方程求解

刚体动力学的中心问题是，给定一组施予刚体的已知力，对刚体运动求解。

1.常微分方程

广义的常微分方程(ordinary differential equation,ODE)是涉及一个自变量的函数以及多个该函数导数的方程。

${d^nx \over dt^n} = f(t, x(t), {dx(t) \over dt} , {d^2x(t) \over dt^2} …… {d^{n - 1}x(t) \over dt^{n - 1}})$

另一种说法是，x(t)的n阶导数表示为f，函数f的参数为时间t、位置x(t)以及任意数量低于n阶的x(t)导数。

力在广义上是时间、位置、速度的函数：$x’‘(t) = {1 \over m}F(t, x(t), x’(t))$

2.解析解

在很罕见的情况下，运动的微分方程可以求出解析解(analytical solution)。也就是可以找到一个简单的闭合函数，描述所有可能时刻t的位置。

自由落体的常微分方程：$y’‘(t) = g$

积分得到：$y’(t) = v_0 + gt$

再次积分：$y(t) = y_0 + v_0t + {1\over2}gt^2$

游戏中几乎永远不可能有解析解。不仅因为一些微分方程根本无闭合式解，也因为游戏是一个互动模拟，力的变化不可预知。




数值积分

由于上述原因，游戏物理引擎改用数值积分(numerical integration)。

使用数值积分我们能对微分方程以时步(time step)方式求解，即以上一时步的解求得本时步的解。也就是给定r(t1)、v(t1)、F(t, r, v)，求出r(t2)及v(t2)。时间步长度通常为常数，记为Δt。

Jason：最简单的数值积分法是显式欧拉法。显式欧拉法误差大稳定性差所以通用的动力学模拟不会使用。对于常微分方程求解还有其他方法例如向后欧拉法（一阶）、终点欧拉法(二阶)、Runge-Kutta方法（四阶的最流行，称为RK4）。

1.显式欧拉法

对常微分方程最简单的求解方法之一是显式欧拉法(explicit Euler method)。

使用显式欧拉法对常微分方程的近似解为：

位移：$r(t_2) = r(t_1) + v(t_1) * Δt$

速度：$v(t_2) = v(t_1) + {{F_{net}(t_1)} \over {m}} * Δt$



2.数值方法的特性

显式欧拉法不太准确，只有在时间步长趋近0或者匀速运动时才是准确的。

常微分方程的数值解实际上由三个重要特性：

  1. 收敛性。（时间步长趋于0时近似解是否接近真实解？）
  2. 阶数(order)。（给定常微分方程的某个数值逼近解，误差会与时间步长Δt的某个幂成正比，通常把这些误差写成大O标记法。）
  3. 稳定性(stability)。（如果某数值方法在系统中加进能量，物体速度会爆炸，如果某数值方法在系统中消去能量，会形成阻尼负反馈效果，系统是稳定的。）

阶数：

通常在度量数值方法误差时，会比较其逼近方程与常微分方程精确解的泰勒级数(Tayor series)展开式。两个方程相减得到的泰勒项表示该数值方法的固有误差，用大O表示法表示。

精确解的泰勒级数展开式：
$r(t_2) = r(t_1) + r’(t_1)Δt + {1 \over 2}r’‘(t_1)Δt^2 + {1 \over 6}r’’‘(t_1)Δt^3 + …….$

显式欧拉方程为：
$r(t_2) = r(t_2) + r’(t_1)Δt$

显式欧拉法的误差表示为：

$Error = {1 \over 2}r’‘(t_1)Δt^2 + {1 \over 6}r’’‘(t_1)Δt^3 + ……. = O(Δt^2)$

所以说显式欧拉是一阶方法。



3.威尔莱积分

Jason：游戏引擎最常用的常微分方程数值方法大概是韦尔莱积分(Verlet Integration)。此方法有两种变种。

正常韦尔莱积分：

正常韦尔莱积分特点是高阶（误差小）、简单、求值快。

正常韦尔莱积分能直接用加速度求出位置，而不用先求速度。

推导韦尔莱积分的方法是把向前和向后的两个泰勒级数求和：

$r(t_1 + Δt) = r(t_1) + r’(t_1)Δt + {1 \over 2}r’‘(t_1)Δt^2 + {1 \over 6}r’’‘(t_1)Δt^3 + O(Δt^4)$
$r(t_1 - Δt) = r(t_1) - r’(t_1)Δt + {1 \over 2}r’‘(t_1)Δt^2 - {1 \over 6}r’’‘(t_1)Δt^3 + O(Δt^4)$

求和移项：

$r(t + Δt) = 2r(t_1) + r(t_1 - Δt) + a(t_1)Δt^2 + O(Δt^4)$

速度可以用其他不太准确的方法逼近例如：

$v(t1 + Δt) = {{r(t_1 + Δt) - r(t_1)} \over {Δt}} + O(Δt)$

速度韦尔莱积分：

更常用的速度韦尔莱积分是一个4步骤的过程，会把时间步长切割成两部分去求解。

  1. 计算$r(t_1 + Δt) = r(t_1) + v(t_1)Δt + {1 \over 2}a(t_1)Δt^2$
  2. 计算$v(t_1 + 0.5Δt) = v(t_1) + {1 \over 2}a(t_1)Δt$
  3. 确定$a(t_1 + Δt) = a(t_2) = { F(t2, r(t_2), v(t_2)) \over m }$
  4. 计算$v(t_1 + Δt) = v(t_1 + 0.5Δt) + {1 \over 2} a(t_1 + Δt)Δt$

Jason：第三步的力函数依赖于下一时间step的位置r(t2)和速度v(t2)。r(t2)已经在第一步求出，v(t2)求近似值即可。

（END）